全加器/(1 bit)Full Adder

1. 全加器定义

全加器（FA）是能够计算低位进位的二进制逻辑电路元件

2. 全加器真值表及逻辑表达式

$A_{i}$	$B_{i}$	$C_{i-1}$(Carry)	$S_{i}$(Sum)	$C_{i}$
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

逻辑表达式：

$\begin{aligned} S_{i} = A_{i} \bigoplus B_{i} \bigoplus C_{i-1} \end{aligned}$

$\begin{aligned} C_{i} = A_{i} \cdot B_{i} + C_{i-1} \cdot (A_{i} + B_{i}) \end{aligned}$

或

$\begin{aligned} C_{i} = A_{i} \cdot B_{i} + C_{i-1} \cdot (A_{i} \bigoplus B_{i}) \end{aligned}$

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补充：真值表的最小逻辑表达式

已知逻辑函数F关于多个逻辑变量的真值表，首先找到所有F=1的行，在这些行中，将值为0的若干个逻辑变量取反(使其变为1)，而值为1的变量保持不变，将该行所有变量逻辑与(将所有变量逻辑值相关联)得到该行子逻辑式，然后将这些行逻辑子式逻辑或，最后化简得到最小逻辑表达式

$例如，观察输入A_{i}、B_{i}、C_{i-1}(逻辑变量X_{n_{i}})与输出S_{i}，找到S_{i} = 1的行$

$A_{i}$	$B_{i}$	$C_{i-1}$	$S_{i}$
0	0	1	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

$即 S_{i} = (\overline{A_{i}} \cdot \overline{B_{i}} \cdot C_{i-1}) + (\overline{A_{i}} \cdot B_{i} \cdot \overline{C_{i-1}}) + (A_{i} \cdot \overline{B_{i}} \cdot \overline{C_{i-1}}) + (A_{i} \cdot B_{i} \cdot C_{i-1})$

合并化简，提取$C_{i-1},\overline{C_{i-1}},$

$即S_{i} = C_{i-1} \cdot (\overline{A_{i}} \cdot \overline{B_{i}} + A_{i} \cdot B_{i}) + \overline{C_{i-1}} \cdot (\overline{A_{i}} \cdot B_{i} + A_{i} \cdot \overline{B_{i}})$

由异或(逻辑代数运算基本公式)换算可得
$S_{i} = A_{i} \bigoplus B_{i} \bigoplus C_{i-1}(此步换算对于“基础与或非”而言并非化简，但如果XOR被封装，不考虑XOR的实现则此式更便于理解)$

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3. 全加器逻辑电路示意图

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